πράξεις αριθμητικές

Στα μαθηματικά, και ιδιαίτερα στην αριθμητική και στην άλγεβρα, ο όρος πράξη χρησιμοποιείται ως συνώνυμο των νόμων σύνθεσης, δηλαδή των κανόνων που επιτρέπουν τον συνδυασμό ν αριθμών ή, γενικότερα, ν στοιχείων δεδομένων κατά μια τάξη, και καθορίζουν έναν άλλο αριθμό ή ένα άλλο στοιχείο που ονομάζεται αποτέλεσμα της πράξης. Ανάλογα με το αν τα στοιχεία είναι 2, 3 ..., η πράξη ονομάζεται δυωνυμική (ή διμελής), τριωνυμική (ή τριμελής) κλπ. Οι συνήθεις αριθμητικές πράξεις είναι δυωνυμικές· πραγματικά, σε ένα ζεύγος αριθμών α, β, αντιστοιχεί το άθροισμά τους α+β στην πράξη της πρόσθεσης, το γινόμενό τους αβ στην πράξη του πολλαπλασιαμού, η διαφορά τους α-β στην πράξη της αφαίρεσης και το πηλίκον τους α : β στην πράξη της διαίρεσης. Όταν μιλάμε για τις τέσσερις πράξεις, εννοούμε τις παραπάνω τέσσερις. Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός δεν εξαρτώνται από τη σειρά των όρων, οι οποίοι λέγονται προσθετέτοι στην πρώτη και παράγοντες στη δεύτερη· πραγματικά, α+β = β+α και α · β = β · α· δεν ισχύει όμως το ίδιο και για την αφαίρεση και τη διαίρεση· από αυτό προκύπτει η ανάγκη να δώσουμε διάφορα ονόματα στον πρώτο και στον δεύτερο όρο (αφαιρετέος και αφαιρέτης στην αφαίρεση, διαιρετέος και διαιρέτης στη διαίρεση). Η αφαίρεση είναι η αντίθετη πράξη της πρόσθεσης, γιατί το να αφαιρέσουμε τον β από τον α σημαίνει να βρούμε τον αριθμό x, ο οποίος, αν προστεθεί στον β, να δώσει τον α, δηλαδή να λύσουμε την εξίσωση β+x = α· αντίθετα, στη διαίρεση, η οποία είναι πράξη αντίστροφη του πολλαπλασιασμού, έχουμε να λύσουμε την εξίσωση β · x = α, δηλαδή να βρούμε ένα παράγοντα x, ο οποίος, αν πολλαπλασιαστεί με τον β, να μας δώσει τον α ως γινόμενο. Ενώ οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού είναι πάντοτε δυνατές στο πλαίσιο των ακέραιων θετικών (φυσικών) αριθμών, για να αποκτήσει έννοια κάθε περίπτωση αφαίρεσης φυσικών αριθμών πρέπει να εισαγάγουμε τους ακέραιους αρνητικούς αριθμούς· κατ’ αναλογία, για να αποκτήσει έννοια κάθε περίπτωση διαίρεσης δύο θετικών ή αρνητικών ακέραιων αριθμών, πρέπει να εισαγάγουμε τους ρητούς (κλασματικούς) αριθμούς, θετικούς και αρνητικούς· αυτοί στο σύνολό τους, μαζί με το 0, σχηματίζουν ένα πεδίο, δηλαδή ένα σύνολο αριθμών, όπου οι 4 πράξεις μπορούν να εκτελεστούν κατά οποιονδήποτε τρόπο και αν επιλεγούν τα α και β, με μόνη εξαίρεση τη διαίρεση διά του μηδενός. Μία άλλη σημαντική δυωνυμική (διμελής) αριθμητική πράξη είναι και η ύψωση σε δύναμη· στο ζεύγος των αριθμών α και β αντιστοιχεί ο αβ (ο α υψούμενος στη δύναμη β), δηλαδή (αν ο β είναι ακέραιος) το γινόμενο β παραγόντων ίσων προς τον α. Η ύψωση σε δύναμη δεν είναι μεταθετική, γιατί δεν είναι δυνατόν να εναλλάξουμε τους όρους α και β, αν ο β είναι διάφορος του α· επίσης δεν είναι προσεταιριστική. Στην αριθμητική υπάρχουν και πράξεις οι οποίες συνδέουν έναν αριθμό με έναν άλλο αριθμό (εξαγωγή αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας, εύρεση του δεκαδικού λογάριθμου ενός αριθμού)· οι πράξεις αυτές λέγονται μονωνυμικές (ή μονομελείς). Πέρα από την αριθμητική, υπάρχουν ενδιαφέροντα παραδείγματα δυωνυμικών πράξεων. Έτσι, στη θεωρία των συνόλων, δυωνυμικές πράξεις είναι η τομή και η ένωση δύο υποσυνόλων ενός συνόλου (η πρώτη έχει ως αποτέλεσμα το υποσύνολο με στοιχεία, τα στοιχεία που ανήκουν και στα δύο υποσύνολα, ενώ η δεύτερη περιέχει τα στοιχεία που ανήκουν είτε στο ένα είτε στο άλλο, είτε και στα δύο μαζί). Οι πράξεις αυτές είναι αρκετά όμοιες προς τις λογικές πράξεις της σύζευξης (λευκό και ρευστό) και της διάζευξης (λευκό ή ρευστό), οι οποίες είναι και αυτές δυωνυμικές πράξεις μεταξύ ιδιοτήτων ή προτάσεων. Εξάλλου, δεδομένων δύο μετατροπών ενός συνόλου, για παράδειγμα, δύο επίπεδων κινήσεων, μπορούμε να θεωρήσουμε τη μετατροπή που προκύπτει, αν εκτελέσουμε διαδοχικά τις δύο δεδομένες πράξεις κατά μια δεδομένη σειρά (εξωτερικό γινόμενο). Στη νεότερη θεωρητική άλγεβρα μελετώνται σύνολα στοιχείων με μία ή περισσότερες πράξεις, δεδομένες όχι κατά λεπτομερή και κατασκευαστικό τρόπο, αλλά με την προϋπόθεση ότι επαληθεύουν ορισμένες τυπικές ιδιότητες.